ラグランジュの未定乗数法

統計学を復習していて、どうやらそれを使わないと非常に難しいらしい問題に突き当たったので、ラグランジュの未定乗数法を復習する。
その響きで一瞬怯んでしまうが、前提条件にさえ気を付ければ使う分には何も難しくない、ロピタルの定理のような便利技である。

どこにでも書いてあるので、わざわざここに書くまでもないが、ラグランジュの未定乗数法とは、x1...xnの関数fが束縛条件g=0の下で極値を持つ時、その極点のx1...xnは、f-λg(λは仮置きの定数)をx1...xnで偏微分したものが0になる値として求めることができるというものである。
数式で書くと、

である。ロピタルの定理同様、考えてみるとミラクルである。

例題として、2008年2月1日にフジテレビから放送された「たけしのコマネチ大学数学科」の第75回の問題を取り上げる。

問:

このような円柱と三角錐を組み合わせた鉛筆形の立体があり、体積が決まると、円柱の半径と円柱・円錐の高さは鉛筆形の表面積が最小になるように決まるとする。円錐部分の稜線の長さ(頂点から円錐面に沿って引いた線の長さ)が3の時、円柱部分の半径はいくらか。

解答:
円柱の半径をx、円柱の高さをy、円錐の稜線の長さをzとすると、表面積Sと体積Vは、中学校で習った公式を思い出すと
S=2¥pi x^2+2¥pi xy+¥pi xz
V=¥pi x^2y+¥frac{¥pi x^2}{3}¥sqrt{z^2-x^2}
と求まる。

まずは失敗の例から。普通に考えると、例えばVの式をyについて解いて、Sの式に代入してyを消して、
S=¥frac{2¥left( 3V-¥pi {x}^{2}¥sqrt{{z}^{2}-{x}^{2}}¥right) }{3x}+¥pi xz+¥pi {x}^{2}
このSを最小にするx,zを求めれば良いのだが、よく見ると1つの式に対して変数がx,z,Vと3つある上、例えばxについて偏微分すると
¥frac{¥partial S}{¥partial x}=-¥frac{¥sqrt{{z}^{2}-{x}^{2}}¥,¥left( 6¥,V-3¥,¥pi ¥,{x}^{2}¥,z-6¥,¥pi ¥,{x}^{3}¥right) +2¥,¥pi ¥,{x}^{2}¥,{z}^{2}-4¥,¥pi ¥,{x}^{4}}{3¥,{x}^{2}¥,¥sqrt{{z}^{2}-{x}^{2}}}
(右辺はMaximaの出力)となり、いわゆる強靭な計算力が必要な状況に陥る。ちなみに、Maximaでz,Vについても偏微分させてそれぞれ=0の連立方程式を解かせると、"system too complicated."というエラーを出してgive upする。

そこでラグランジュの未定乗数法である。
Vという条件の下でSの最小値を求める問題なので、

である。(正確にはVは(V-体積)だが、偏微分で体積が消えるので不要)
yについての式を実際に偏微分すると

となり、λ=2/xが得られる。次に、zについての式を偏微分してλを消去すると、

となり、これにz=3を代入すると、x=√5と求まる。
Vもyもわからないままで良い。なんということであろうか。


今回使ったMaximaへの入力を記録する。

S: %pi*x^2 + 2*%pi*x*y + %pi*x*z;
V: %pi*x^2*y + %pi*x^2*sqrt(z^2-x^2)/3;
diff(S-L*V,x) = 0;
diff(S-L*V,y) = 0;
diff(S-L*V,z) = 0;
solve(diff(S-L*V,y) = 0,x);
eq: diff(S-L*V,z) = 0, L=2/x;
solve(eq,z);
solve(%^2,x);

筆者はこの回の放送を観た時に初めて「ラグランジュの未定乗数法」を理解した。
改めて見ると、実にいい問題だ。まるで表面張力のようだ。