統計学復習メモ4: (思考実験)学力偏差値と合格率

統計解析の入門書を初めから読み返していると、偏差値の説明がちょろっとだけ書かれていた。ああ、あの高校受験や大学受験の模試で出てきたやつだな、と反射的に思った。
筆者が受験生だったのは遠い昔で、入試というものはほとんど意識することは無くなったのだが、それでも私にとって「偏差値」と言えば入試である。というか、これまでの人生で入試関連以外で50が中心の「偏差値」が使われているのを見た記憶が無い。IQテストなんかは点数の分布が正規分布に従っていることを前提にしてるらしいので、これも広い意味では「偏差値」だろうが、一般的な定義では平均値の偏差値が50で、IQの平均点は100なので、狭い意味では偏差値とは言わないと思う。
従って、偏差値という文字を見ると、受験生時代に見た模試の結果の偏差値しか思い浮かばない。

そういえば、偏差値が60とか70とかってどういうことなんだろう?
我ながら貴様本当に理系だったのか?という感じだが、少なくとも私は授業で習わなかったし、試験には出てこなかった。
定義的には何のことはない、偏差値50が平均で、60が+σ、70が+2σだ。正規分布表を見ると、60で大体上位16%、70で上位2.3%らしい。やっぱり、だから何?という感じである。


私は高校時代、偏差値の意味を知らなかったので、模試の偏差値の値を意識することがなく、自分の学力偏差値がどれくらいだったのか覚えていない。しかし、共通一次から名前を変えて間もないセンター試験の点数は覚えていたので、ウェブ上で過去の平均点と最近の標準偏差を調べて(過去の標準偏差は見つからなかった)概算してみると、58くらいだった。自分が受けた大学のは覚えてない(意識すると凹むから)が、東大の偏差値が70だったのをかすかに覚えている。
仮に当時の私の学力の偏差値が58だったとして、仮にもしセンター試験で偏差値70の点を取ったら東大に合格したとすると、私の東大合格率はどれくらいだっただろうか?

そもそもどうやったらそういうのが計算できるのかがさっばりわからなかったので、統計解析の本を眺めながら考えてみた。

上の仮定と命題にもかなり無理があるが、さらに無理な仮定を重ねる。
800点満点で、受験者の点数が正規分布し、平均点が480、標準偏差が120とする。私が必ず偏差値58の点を取ると必ず落ちるので、私の点数も正規分布するとする。標準偏差が不明だが、感覚的な理由で40だったとする。支離滅裂になってきたが、続ける。つまり母集団の点数がN(480,120^2)に従い、私の点数がN(偏差値58の点,40^2)に従い、私の点数が偏差値70の点を超えると東大合格だった、という仮定である。偏差値58とか70とかはN(480,120^2)における話なので、偏差値xの点は480+120*(x-50)/10である。
Maximaに

cdf_normal(480+120*(70-50)/10, 480+120*(58-50)/10, 40),numer;
(私の点数の分布における、偏差値70の点までの累積密度)と入力すると、0.99984という答えが出たので、私の東大合格率は0.00016、すなわち0.016%、6250中1回の確率ということになる。毎日東大を受験しても17年に1回しか合格しない確率だ。

もし私が1浪して偏差値を5上げたとすると、

cdf_normal(480+120*(70-50)/10, 480+120*(63-50)/10, 40),numer;
は0.982と出てくるので、合格率は1.8%である。

…命題と仮定に無理があり過ぎて、話にならないのは、言うまでもない。
とりあえず、こういう計算にはいろんなデータが必要になることがわかった。